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例子：你可能包含以下内容：“解下列微分方程：”
d²y/dx² + 3dy/dx + 2y = sin(x)
解决方案:
步骤1：寻找补充解（yc）
• 首先，我们需要找到补充解，这是齐次方程的解（不包括 sin(x) 项的方程）的解答。
- 齐次方程为：d²y/dx² + 3dy/dx + 2y = 0
• 我们假设解为y = e^(mx)，其中m是一个常数。
将这个式子代入齐次方程并简化，我们得到特征方程：m² + 3m + 2 = 0
- 通过因式分解特征方程，我们得到：(m + 1)(m + 2) = 0
• 这给了我们两个根：m = -1 和 m = -2
因此，补充的解决方案是：yc = C1e^(-x) + C2e^(-2x)，其中C1和C2是任意常数。
第2步：找到特解（yp）
• 现在，我们需要找到非齐次方程的一个特解。
• 由于方程的右侧是sin(x)，我们假设特解具有以下形式：yp = A cos(x) + B sin(x)，其中A和B是常数。
• 我们对yp进行了两次区分:
• dy/dx = -A sin(x) + B cos(x)
• d²y/dx² = -A cos(x) - B sin(x)
• 将 yp、dy/dx 和 d²y/dx² 代入原始的非齐次方程中:
- (-A cos(x) - B sin(x)) + 3(-A sin(x) + B cos(x)) + 2(A cos(x) + B sin(x)) = sin(x)
简化和合并同类项：
• （A + 3B）cos(x) + （-B + 3A）sin(x) = sin(x)
• 在方程的两侧将cos(x)和sin(x)的系数相等。
- A + 3B = 0
- -B + 3A = 1
• 解决此方程组以求得 A 和 B 的值：
• A = 3/10 • A = 3/10
• B = -1/10 • B = -1/10
• 因此，特解是： yp = （3/10）cos（x）-（1/10）sin（x）
第三步：将互补解和特解结合在一起。
- 非齐次方程的通解是补充解和特解的总和：
• y = yc + yp • y = yc + yp
• y = C1e^(-x) + C2e^(-2x) + (3/10)cos(x) - (1/10)sin(x) • y = C1e^(-x) + C2e^(-2x) + (3/10)cos(x) - (1/10)sin(x)
结论：
一阶微分方程d²y/dx² + 3dy/dx + 2y = sin(x)的一般解是：
y = C1e^(-x) + C2e^(-2x) + (3/10)cos(x) - (1/10)sin(x)
其中C1和C2是任意常数"
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